Question

【题目】如图，抛物线C1：y=﹣（x+3）2与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C1沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C2，抛物线C2的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E，

（1）求A，B点的坐标；

（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标；

（3）若四边形ABCD是菱形．

①此时抛物线C2的解析式；

②点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4）；（2）（3，2）（3，6）（3）①②，，

【解析】

试题分析：（1）利用坐标轴上点的特点，确定出点A，B的坐标；

（2）根据锐角三角函数的意义，和抛物线的平移，得到比例式，求出即可；

（3）①由点的移动情况判断出抛物线的移动情况；

②设出点的坐标，M（3+3a，4a），表示出F（3，﹣5a）．根据点在抛物线上，求出a，从而得到F的坐标．

试题解析：（1）令y=0，

∴y=﹣（x+3）2=0，

∴x=3，

令x=0，

∴y=4，

∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）；

（2）由（1）得：OA=3，OB=4，

∴tan∠OBA=．

由题意得AB∥CD，∠EDA=∠OBA，

∴．

①当点C在y轴负半轴时，

由CE：CD=1：2，

∴OE=EA=1.5，AD=2，

∴D（3，2）；

②当点C在y轴正半轴时，

由CE：CD=1：2，

∴OE：OA=1：2，

∴AE=4.5，

∴AD=6，

∴D（3，6）．

（3）①由解析式可得A（﹣3，0），B（0，﹣4），

∴AB=BC=AD=DC=5，

即抛物线向上平移5个单位，因此抛物线C2

解析式为；

②I：如图，以AF为边在对称轴右侧作菱形时，延长BA，与抛物线C2 交于点G，

∴∠FAG=∠BAD．

当AF=AM时，点M与点G重合，菱形AMPF∽菱形ABCD，

∵tan∠AMP=tan∠OBA=

∴设M（3+3a，4a），F（3，﹣5a）．

把M点坐标代入，

可得a1=﹣1， （舍去），

．

当AF=AP时，

∴设M（3+3a，﹣a），F（3，﹣5a）．

把M点坐标代入，

可得a1=﹣1 （舍去），，

．

以AF为边在对称轴左侧作菱形时，点F坐标不变．

II：以AF为对角线作菱形时，

由菱形的对角线性质可知，

在AF右侧作∠FAP=∠FAM，

∴∠PAF=∠GAF=∠BAD，

菱形的轴对称性可得P点也在抛物线C2 上．

设M（3+3a，﹣a），F（3，﹣2a），

∴，

∴．

当点M在AF左侧时，F点坐标不变．

当点M在AF左侧时，F点坐标不变．

综上所述：，，