Question

已知a，b，c是△ABC的三边，关于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，又sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根．
（1）求m的值；
（2）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．

Answer 1

解：（1）∵关于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，即a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，sinB=sin（-A）=cosA，
∵sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根，
∴sinA+cosA=，sinAcosA=，
∵sin²A+cos²A=1，
∴m₁=20，m₂=4，
又∵sinA＞0，cosA＞0，
∴m=20；

（2）由已知r=5，
∴c=10由（1）可得sinA=或，
∴直角边分别为6，8，
设正方形的边长为t则
①若正方形两边在三角形两直角边上时，有=，∴t=
②若正方形的一条边在三角形的斜边上时，有=，
∴t=．
故答案为：20；，．
分析：（1）先根据方程有两相等的实数根可判断出△ABC是直角三角形，再根据互余两角的三角函数关系及sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根可得出sinA+cosA=，sinAcosA=，再根据同角三角函数的关系可求出m的值；
（2）先根据三角形外接圆的面积求出其半径及直径的长，进而可得出sinA=或，再分正方形两边在三角形两直角边上和正方形的一条边在三角形的斜边上两种情况进行讨论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到根的判别式、勾股定理、同角三角函数关系、互余两角的三角函数关系及三角形的外接圆，涉及面较广，难度较大．