题目内容

如图所示，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m．现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？
（精确到0.1m²，π≈3.14， $数学公式$ ≈1.73）

解：设矩形外接圆的圆心为O，作OE⊥BC，垂足为E，连接AC，BD．
∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，
∴∠BAD=∠BCD=90°，AB= $\text{[math]}$ ，
∴AC、BD均为⊙O的直径，
∴⊙O的半径R= $\text{[math]}$ =1（m），
∵BO=CO=BC=1m，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°．在Rt△OEB中，OB=1（m），∠OBE=60°， $\text{[math]}$ ，
∴OE=OB•sin∠OBE= $\text{[math]}$ （m），
应打掉的墙体面积为S=S_⊙O-S_矩形ABCD-S_扇形OBC+S_△OBC
= $\text{[math]}$ m²．
分析：设矩形外接圆的圆心为O，作OE⊥BC，垂足为E，连接AC，BD．有AC=2，BC=1，可求AB= $\text{[math]}$ ，且可得到∠BAC=30°，于是∠ACB=60°，可以知道△OBC是等边三角形，因此OE= $\text{[math]}$ ．打掉墙体的面积=S_⊙O-S_矩形-S_扇形OBC+S_△OBC，计算各部分的面积就可求出．
点评：本题考查了矩形的性质，扇形、矩形、三角形、圆的面积公式及勾股定理的使用．