Question

【题目】在四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线．

（1）如图1，已知AB=AC=AD，AB∥CD．

①若∠ABC=70°，则∠BAC= °，∠CAD= °；

②若AB=4，BC=2，求BD的长；

（2）如图2，已知∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°-∠BDC，求证：AB=AC．

Answer 1

【答案】（1）①40，100；②BD=；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）①根据AB=AC,AC=AD,利用等腰三角形的性质可求∠BAC和∠CAD,

(2) ②作AH⊥BC，CP⊥AB, DQ⊥BA ,构造直角三角形BQD,

(3)延长CD至M，使DM=BD , 证明 ,，所以可以证明AB=AM=AC.

试题解析：(1) ①AB=AC, ∠ABC=70°，∠BAC=180°-2∠ABC=40°，AC=AD,

AB∥CD, ∠ACD=40°，所以∠CAD=180°-2∠ACD=100°.

②如图，作AH⊥BC，CP⊥AB，AB=4，BC=2，勾股定理得AH=，

∴CP= ， BP= ，AP= ，

作 DQ⊥BA ,

∵APC ∴AQ=AP=，

利用勾股定理得

∴BD= .

（2）证明：延长CD至M，使DM=BD ,

∠ADB=90°-∠BDC,

∠ADB=∠ADM ,

又 ∵AD=AD,

∴ ,

∴∠AMD=∠ABD=∠ACD=60°，AB=AM,

∴AB=AM=AC.