Question

（2012•金山区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD=90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax²+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出二次函数解析式，根据顶点坐标公式求顶点坐标；
（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；
（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA=PD=

10

，又∠PAQ=90°，可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．

解答：解：（1）由题意，得

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，…（1分）
解得

a=1 b=-2 c=-3

…（1分）
所以这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3…（1分）
顶点D的坐标为（1，-4）…（1分）
（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA=

9+m2

，PD=

1+(m+4)2

，AD=2

5

…（1分）
∵∠APD=90°，∴PA²+PD²=AD²，即（

9+m2

）²+（

1+(m+4)2

）²=（2

5

）²…（1分）
解得m₁=-1，m₂=-3（不合题意，舍去）…（1分）
∴P（0，-1）…（1分）

解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得  DE=1，OE=4…（1分）
由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，
由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°，
∴△OAP∽△EPD
∴

OA

PE

=

OP

ED

…（1分）
设OP=m，PE=4-m
则

3

m

=

4-m

1

，解得m₁=1，m₂=3（不合题意，舍去）…（1分）
∴P（0，-1）…（1分）

（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA=AQ=PD=QD=

10

，∠PAQ=90°，
∴四边形APDQ为正方形，…（1分）
由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA
∴△AOP≌△AHQ，∴AH=OP=1，QH=OA=3…（2分）
∴Q（4，-3）…（1分）
解法二：
设Q（m，n）…（1分）
则AQ=

(m-3)2+n2

=

10

，QD=

(m-1)2+(n+4)2

=

10

…（1分）
解得

m1=4 n1=-3

，

m2=0 n2=-1

（不合题意，舍去）…（1分）
∴Q（4，-3）…（1分）

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求二次函数解析式，由解析式求顶点坐标，利用勾股定理列方程或利用三角形相似，得出比例式，求出相关点的坐标．