题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点O，过点B的直线y=mx+n与抛物线相交于点C（2，y）．过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴，交直线DC于点E，交x轴于点F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△OBC的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得以P、C、E为顶点的三角形与△OCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点O，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故，抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）∵C（2，y）在抛物线上，
∴-2²+5×2=y，
解得y=6，

∴C点坐标为（2，6），
∵B、C在直线y=mx+n上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线BC的解析式为y=-3x+12，
设BC与x轴交于点G，则-3x+12=0，
解得x=4，
所以，点G的坐标为（4，0），
S_△OBC=S_△OBG+S_△OCG，
= $\text{[math]}$ ×4×|-6|+ $\text{[math]}$ ×4×6=12+12=24；

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE．
理由如下：设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°，
∴PE=6-n，CE=m-2，
∵C点坐标为（2，6），
∴CD=2，OD=6，
①OD与CE是对应边时，∵△OCD∽△CPE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，m=20-3n，
∵（m，n）在抛物线上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （为点C坐标），
所以，点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
②OD与EP是对应边时，∵△OCD∽△PCE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，n=12-3m，
∵（m，n）在抛物线上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ （为点C坐标）， $\text{[math]}$ ，
所以，点P（6，-6），
综上所述，P点坐标为 $\text{[math]}$ 和（6，-6）．
分析：（1）把点A、B以及原点O的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）把点C代入抛物线解析式求出y，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，设BC与x轴相交于点G，求出点G的坐标，再根据S_△OBC=S_△OBG+S_△OCG，列式求解即可；
（3）根据点C的坐标表示出CD、OD，设点P（m，n），表示出PE、CE，然后分①OD与CE是对应边，②OD与EP是对应边，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出m、n的关系式，再根据点P在抛物线上，组成方程组求解即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，直线解析式），求三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（2）把△OBC分成两个三角形求面积比较简单，（3）要根据对应边的不同分情况讨论求解．