Question

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，°。以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD//BC。

（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹）

（2）求证：

（3）若AD=1，，求BC的长。

Answer 1

解：

（1）（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）.

能见作图痕迹，作图基本准确即可,漏标O可不扣分

（2）证明:连结OD．∵AD∥BC ， ∠B=90°，∴∠EAD=90°．

∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°－∠EDA．

又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．

∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°－∠EDA

∴∠E=∠ODA

（说明：任得出一个角相等都评1分）

又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．

（3）Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC= ，

∵AD=1∴EA=．

Rt△ABC中，tan∠ACB=，

又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．

∴=，∴可设．

∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．··

∴，即．

∴，∴.