Question

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA<OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根.线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D.点P是直线CD上的一个动点，点Q是直线AB上的一个动点.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 

 

 

Answer 1

（1）∵

∴x₁=6， x₂=8

∵OA<OB

∴OA=6，OB=8

∴A(6，0)，B(8，0)

（2）根据勾股定理得AB=10                                                      

  ∵CD是AB的垂直平分线

  ∴AC=5，易求C(3，4)

  由于△AOB∽△ACD

∴，求得AD=

∴OD=AD-OA=∴D(，0)

由C、D坐标得y_CD=x+

（3）存在，M₁ (2，-3)M₂ (10，3)M₃ (4，11)M₄(-4，5)