Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）
（1）求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标；
（2）在抛物线上否存在点P，使S_△AOP=1？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入y=-x²+bx+c求解即可．
（2）由S_△AOP=

1

2

×|OA|×|y|=1，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标．

解答：解：（1）将A、O两点坐标代入解析式y=-x²+bx+c，
有：

c=0 -4-2b+c=0

，
解得：

b=-2 c=0

，
∴此二次函数的解析式为：y=-x²-2x，变化形式得：y=-（x+1）²+1，
故顶点坐标B（-1，1）．

（2）假设存在满足条件的点P，则根据题意得：
S_△AOP=

1

2

×|OA|×|y|=1，
解得：y=1或y=-1．
当y=1时，1=-x²-2x，即x²+2x+1=0，解得，x=-1，即P₁（-1，1）．
当y=-1时，x=±

2

-1，则P₂（-

2

-1，-1），P₂（

2

-1，-1）．
∴点P的坐标是：P₁（-1，1），P₂（-

2

-1，-1），P₂（

2

-1，-1）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用．