Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D是

AC

的中点，DE⊥AB于E，交AC于F．连接BD交AC于G．
（1）求证：∠DAC=∠ADE；
（2）若⊙O半径为5，OE=3，求DE、DF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据D是

AC

的中点，可以确定∠DBA=∠DAC；再根据AB是⊙O的直径，可知∠ADB=90°；则据此即可确定∠DBA=∠ADE，即∠DAC=∠ADE；
（2）根据勾股定理可以直接求得DE；再设DF=x，则在Rt△AFE中，由AF²=FE²+AE²，可以求得x的长度．

解答：（1）证明：连接OD，
∵D是

AC

的中点，
∴∠DBA=∠DAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠DAB+∠EDA=90°．
∴∠DBA=∠EDA．
∴∠DAC=∠ADE．

（2）解：在Rt△ODE中，DE=

OD2-OE2

=4，设DF=x，
∵∠DAC=∠ADE，
∴DF=AF=x，FE=4-x．
在Rt△AFE中，由AF²=FE²+AE²，AE=2，得：x²=2²+（4-x）²，
解得：x=2.5，
答：DE为4，DF值为2.5．

点评：本题是综合考查了圆周角定理以及勾股定理；在做题时一定要仔细认真．