Question

如图，已知AB是圆O的直径，∠DAB的平分线AC交圆O与点C，作CD⊥AD，垂足为点D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为圆O的切线．
（2）当AB=2BE，DE=2

3

时，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，设BO=BE=CO，推出∠E=30°，解直角三角形求出AD即可．

解答：（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
即OC=

1

2

OE，
∵∠OCB=90°，
∴∠E=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，DE=2

3

，
∴AD=DE×tan30°=2．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质，同时也利用了圆周角定理及勾股定理，首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的性质和解直角三角形求出即可．