Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求b的值以及点B，C，顶点D的坐标；
（2）若以AB为直径作圆，试证明点C在该圆上，并写出该圆与抛物线的另一个交点E坐标；
（3）点M（m，0）是线段OB（含两端点）上的一个动点，求当m为何值时，CM+DM有最小值和最大值？

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b的值，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；
（2）求出OA、OB、OC的长，然后根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似求出△AOC和△COB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠ACO=∠OBC，从而求出∠ACB=90°，再根据直径所对的圆周角是直角可得点C在圆上，根据圆的对称性可得点E的纵坐标与点C的纵坐标相等，然后利用抛物线解析式求解即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴的交点即为CM+DM有最小值时的点M，然后利用待定系数法求出C′D的函数解析式，令y=0，计算即可求出点M的坐标，点M与B重合时，CM+DM的值最大．

解答：解：（1）将A（-1，0）代入抛物线y=

1

2

x²+bx-2得，

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
解得b=-

3

2

，
所以，抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
令y=0，则

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，点B（4，0），
令x=0，则y=-2，
所以，点C（0，-2），
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标为（

3

2

，-

25

8

）；

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵

OA

OC

=

OC

OB

=

1

2

，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
由圆的对称性，点E的纵坐标与点C的纵坐标相同，为-2，

1

2

x²-

3

2

x-2=-2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
所以，点E的坐标为（3，-2）；

（3）如图，点C关于x轴的对称点C′（0，2），连接C′D与x轴的交点即为CM+DM有最小值时的点M，
设直线C′D的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

b=2 3 2 k+b=- 25 8

，
解得

k=- 41 12 b=2

，
∴直线C′D的解析式为y=-

41

12

x+2，
令y=0，则-

41

12

x+2=0，
解得x=

24

41

，
∴CM+DM有最小值时点M的坐标为（

24

41

，0），
此时，m=

24

41

，
当点M与点B重合时，即M（4，0）时CM+DM有最大值，
此时m=4．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求解，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，利用轴对称确定最短路径问题，综合性较强，但难度不是很大．