Question

如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4．二次函数y=-x²+bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求

DE

DC

的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．

解答：解：（1）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴OA=OB•cos30°=2

3

．
∴A（2

3

，0）．（1分）
∵二次函数y=-x²+bx的图象经过点A，
∴-(2

3

)2+2

3

b=0．
解得b=2

3

．
∴二次函数的解析式为y=-x2+2

3

x．（2分）
顶点C的坐标是（

3

，3）．（1分）

（2）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴AB=2．（1分）
由DE是二次函数y=-x2+2

3

x的图象的对称轴，
可知DE∥AB，OE=AE．
∴

DE

AB

=

OE

OA

=

1

2

．即得DE=1．（1分）
又∵C（

3

，3），∴CE=3．
即得CD=2．（1分）
∴

DE

DC

=

1

2

．（1分）

（3）根据题意，可设P（

3

，n）．
∵OE=

1

2

OA=

3

，CE=3，
∴S△OCE=

1

2

OE•CE=

3

2

3

．（1分）
∴S△POA=

1

2

OA•PE=

1

2

×2

3

|n|=

3 3

2

．
解得n=±

3

2

．（1分）
∴点P的坐标为P₁（

3

，

3

2

）、P₂（

3

，-

3

2

）．（2分）

点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了直角三角形内的三角函数，抛物线过一点，即代入求得；通过抛物线的对称轴来做题，方便快捷，这也考查了灵活的思维；通过面积的求得，来求得点的做标，只是考查的手段，问题考查的思路．