Question

△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE。
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时，
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由。

Answer 1

解：（1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②由①得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形BCGE是平行四边形； （2）①②都成立； （3）当（或或或或）时，四边形BCGE是菱形， 理由：由①得， ∴， 又∵， ∴， 由②得四边形BCGE是平行四边形， ∴四边形BCGE是菱形。