题目内容

若一次函数y=2x-1和反比例函数y= $数学公式$ 的图象都经过点（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
（4）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．

解：（1）∵反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象经过点（1，1），
∴1= $\text{[math]}$ ，解得k=2，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ；

（2）解方程组 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∵点A在第三象限，且同时在两个函数图象上，
∴A（ $\text{[math]}$ ，-2）；

（3）根据一次函数和反比例函数的解析式，画出图形，如图所示：
根据直线与反比例的交点坐标为A（- $\text{[math]}$ ，-2），C（1，1），
则当- $\text{[math]}$ ＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例的函数值；
当x＜- $\text{[math]}$ 或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例的函数值；

（4）根据题意画出图形，如图所示：

根据图形及平行四边形的性质分别得到：
P₁（ $\text{[math]}$ ，-2），P₂（ $\text{[math]}$ ，-2），P₃（ $\text{[math]}$ ，2）．
分析：（1）将点（1，1）的坐标代入反比例函数y= $\text{[math]}$ 中可得k的值，进而可得反比例函数的解析式；
（2）根据题意，可得方程组 $\text{[math]}$ ，解可得x与y的值，又有A在第三象限，可得答案；
（3）由（2）中求出的两函数的交点，根据两交点的横坐标及0把x轴分为四个区间，从图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上边的两个区间即为一次函数的值大于反比例的函数值时，x的取值范围；剩下的两个区间即为一次函数的值小于反比例的函数值时，x的取值范围；
（4）根据题意画出图形，如图所示，利用（2）求出定的两函数的交点A与C的坐标，根据平行四边形的性质，分别求出三种情况各自满足题意得P点坐标即可．
点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用，注意运用数形结合的数学思想．