Question

如图，在△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，D是BC中点，E是AB中点，且AD⊥CE，垂足为F，求AC的长．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的重心

专题：计算题

分析：连接DE，BF，延长AD作BH⊥AD于H，由D，E分别为BC，AB的中点，可得DE∥AC，AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，BD=DC=

1

2

BC=2，再根据三角形的面积得到AF=2DF，同理可得：CF=2EF，再根据勾股定理即可得到AC的长．

解答：解：如图，连接DE，BF，延长AD作BH⊥AD于H
∵D，E分别为BC，AB的中点
∴DE∥AC，AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，BD=DC=

1

2

BC=2
∴S_△AEF=S_△BEF，S_△BDF=S_△CDF，S_△ACD=S_△ACE
∴S_△AEF=S_△ACE-S_△ACF=S_△ACD-S_△ACF=S_△CDF
∴S_△AEF=S_△BEF=S_△BDF=S_△CDF
∴S△ABF=S_△AEF+S_△BEF=2S_△BDF
即：

1

2

AF×BH=2×

1

2

DF×BH
∴AF=2DF
同理可得：CF=2EF
设FF=a，DF=b，则CF=2a，AF=2b
∵AD⊥CF
∴EF²+AF²=AE²；DF²+CF²=DC²，AF²+CF²=AC²
即：

a2+(2b)2=( 3 2 )2① (2a)2+b2=22②

（①+②）÷5得：a²+b²=

5

4

，
∴4a²+4b²=5，
即：CF²+AF²=5=AC²，
∴AC=

5

．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积，方程思想，主要考查了学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．