Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD，DC＝8，AD＝6.

(1)如图(1)，点E在边AD上且AE＝2，以点E为顶点作正方形EFGH，顶点F，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接CG，求∠HCG的度数；

(2)请从A、B两题中任选一题解答，我选择_____.

A.如图(2)，甲同学把矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形MPNQ，判断并说明四边形MPNQ的形状.

B.如图(3)，乙同学把(1)中的“正方形EFGH”改为“菱形EFGH”，其余条件不变，此时点G落在矩形ABCD的外部，已知△CGH的面积是4，求菱形EFGH的边长及面积.

Answer 1

【答案】(1)∠HCG= 45°；(2)A：四边形MPNQ的形状是矩形，证明见解析；B：菱形EFGH的边长及面积分别为4和8+8.

【解析】

（1）先根据条件判定△AFE≌△DEH≌△KHG，得出AE=DH=GK=2，DE=HK，进而得出GK=CK，即△CGK为等腰直角三角形，据此得出∠HCG的度数；

（2）①若选A题，则根据折叠的性质，求得∠PMQ=∠PME+∠QME=1212∠DME+1212∠AME=1212∠AMD=90°，同理可得，∠MQN=90°，∠PNQ=90°，进而得出四边形MPNQ的形状是矩形；

②若选B题，则需要连接HF，过G作GP⊥CD的延长线于P，再根据矩形和菱形的性质，判定△AEF≌△PGH（AAS），得出PG=AE=2，再根据△CGH的面积是4，求得CH的长，进而在Rt△DEH中，根据勾股定理得出EH，即得出菱形EFGH的边长，最后根据菱形EFGH的面积=2×△EFH的面积=2×（四边形ADHF的面积-△DEH的面积-△AEF的面积），进行计算求解即可．

(1)过点G作GK⊥CD于点K，

∵四边形ABCD为矩形，DC＝8，AD＝6，

∴∠A＝∠D＝∠HKG＝90°，

∵四边形EFGH为正方形，

∴∠FEH＝∠EHG＝90°，EF＝EH＝HG，

∴∠AFE＝∠DEH＝∠KHG，

∴△AFE≌△DEH≌△KHG，

∴AE＝DH＝GK＝2，DE＝HK，

∵DC＝8，AD＝6，

∴CK＝DC﹣DH＝8﹣6＝2，

∴GK＝CK，

∴∠KCG＝∠CGK＝45°，即∠HCG的度数是45°；

(2)选A题，四边形MPNQ的形状是矩形.证明：如图2，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∵DM与EM重合，AM与EM重合，

∴PM平分∠DME，QM平分∠AME，

∴∠PMQ＝∠PME+∠QME＝∠DME+∠AME＝∠AMD＝90°，

同理可得，∠MQN＝90°，∠PNQ＝90°，

∴四边形MPNQ的形状是矩形.

选B题，如图3，连接HF，过G作GP⊥CD的延长线于P，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFH＝∠PHF，

∵四边形EFGH为菱形，

∴EF∥HG，EF＝HG，

∴∠1＝∠2，

∴∠AFE＝∠PHG，

又∵GP⊥DP，

∴∠P＝∠A＝90°，

∴△AEF≌△PGH(AAS)，

∴PG＝AE＝2，

∵△CGH的面积是4，

∴×HC×PG＝4，

∴HC＝4，

∵CD＝8，AD＝6，AE＝2，

∴DH＝8﹣4＝4，DE＝6﹣2＝4，

∴Rt△DEH中，EH＝4，

∴EF＝4，即菱形EFGH的边长为4，

∴Rt△AEF中，AF＝2，

∴菱形EFGH的面积＝2×△EFH的面积

＝2×(四边形ADHF的面积﹣△DEH的面积﹣△AEF的面积)

＝2×[(DH+AF)×AD﹣×DH×ED﹣×AE×AF]

＝8+8.

∴菱形EFGH的边长及面积分别为4和8+8.