Question

如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且.

 (1)判断直线是否为的切线，并说明理由；

(2)如果，，求的长。

Answer 1

（1）PD是⊙O的切线

连接OD,∵OB=OD,∴∠2=∠PBD.又∵∠PDA=∠PBD.∴∠PBD=∠2.

又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.即∠1+∠2=90°. ∴∠1+∠PDA=90°,即OD⊥PD.

∴PD是⊙O的切线.

（2）方法一：

∵∠BDE=60°, ∠ODE=60°, ∠ADB=90°,∴∠2=30°, ∠1=60°.

∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形。∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.

在直角△PDO中，设OD=x,∴，∴x₁=1,x₂=-1（不合题意，舍去）∴PA=1.