Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E

(1) 求证：BE是⊙O的切线

(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA

【解析】（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.

（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.

证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD

∵BD＝BA，OA＝OD

∴BF为线段AD的垂直平分线

∵AC为⊙O的直径

∴∠ADC＝90°

∵BE⊥DC

∴四边形BEDF为矩形

∴∠EBF＝90°

∴BE是⊙O的切线

(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点

∴OF＝CD＝

∵BF＝DE＝1＋3＝4

∴OB＝OD＝

∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝