Question

【题目】如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．

（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；

（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）．

【解析】

（1）先根据运动速度和时间求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据矩形的性质可得，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

（2）如图（见解析），连接FQ，先根据（1）三角形全等的性质可得，再根据垂直平分线的判定与性质可得，然后根据勾股定理、等量代换即可得证；

（3）先根据角平分线的性质得出，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一得出，又分别在和中，利用余弦三角函数可求出t的值，从而可得CP、AP的长，最后根据平行线分线段成比例定理即可得．

（1）由题意得：

四边形ABCD是矩形

，

在和中，

；

（2），证明如下：

如图，连接FQ

由（1）已证：

PQ是线段EF的垂直平分线

在中，由勾股定理得：

则；

（3）如图，设FQ与AC的交点为点O

由题意得：，，

平分，

（角平分线的性质）

是等腰三角形

在和中，

，即是的角平分线

（等腰三角形的三线合一）

在中，

在中，，即

解得

，即

故的值为．