Question

如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为点F、E，CF和EB相交于点P，联结AP．
（1）求证：

AF

AE

=

BF

EC

；
（2）S_△ABF=4，S_△AEC=9，求AP：EC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF=∠CAE，∠BFA=∠AEC=90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的对应边成比例，可得

AF

AE

=

BF

EC

，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC．

解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE．

（2）由（1）有

AF

AE

=

BF

EC

，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴

PF

BC

=

BF

EC

，
∴

AF

AE

=

PF

PC

，
∴AP∥EC，
∵△APF∽△CFE，
∴AP：CE=CF：PF，
∵S_△ABF=4，S_△AEC=9，
∴CE：BF=2：3，
∴AP：CE=3：2．

点评：本题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．