Question

如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．
（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）．

Answer 1

分析：（1）菱形的边AB=AD，即已知两边相等，再寻找一个角为60°，即可证明△ABD是正三角形；
（2）先求OC的长，再求AC．

解答：（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．（1分）
∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）
∵AB、AD是菱形的两条边，
∴AB=AD．（3分）
∴△ABD是正三角形．（4分）

（2）解：∵O为菱形对角线的交点，
∴AC=2OC，OD=

1

2

BD=3，∠COD=90°．（5分）
在Rt△COD中，

OD

OC

=tan∠OCD=tan30°，
∴OC=

OD

tan30°

=

3

3 3

=3

3

．（6分）
∴AC=2OC=6

3

．
答：AC的长为6

3

．（7分）

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．