Question

已知，如图四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F，垂足为O．
求证：（1）M是AD的中点；
（2）DF=

1

2

CD．

Answer 1

分析：（1）先根据EF⊥AC，可判断出EM是△ABD的中位线，继而可证得结论．
（2）由（1）得，△AME≌△DMF，则DF=AE=

1

2

CD．

解答：证明：（1）连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO平分∠BAD，AC⊥BD，
∵EF⊥AC，点E是AB中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴M是AD的中点；
（2）在△AME和△DMF中，
∵∠EAM=∠FDM，AM=DM，∠AME=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴DF=AE，
∵AE=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴DF=

1

2

CD．

点评：本题考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的证明，是中等题．