Question

如图，直角△ABC中∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则△ABC的内切圆⊙O₁的半径r₁=

 

；若⊙O₂与⊙O₁、BC、AB分别相切，⊙O₃与⊙O₂、BC、AB分别相切…；按此规律，则⊙O₂₀₁₄的半径r₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：规律型

分析：本题可将三角形ABO分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O₂，⊙O₃…的半径大小，找出规律即可．

解答：解：（1）∵BC=2，∠C=90°，∠A=30°，
∴B（0，2），A（2

3

，0），
则S_OO1B=

1

2

×OB×r₁=r₁，
S_AO1O=

1

2

×AO×r₁=

3

r₁
S_AO1B=

1

2

×AB×r₁=2r₁
S_AOB=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∵S_AOB=S_OO1B+S_AO1O+S_AO1B=（3+

3

）r₁=2

3

，
∴r₁=

3

-1；

（2）根据题意得：R₁=

3

-1，R₂=

3 -1

3

，R₃=

3 -1

32

…
∴Rn=

3 -1

3n-1

，
依此类推可得：R₂₀₁₄=

3 -1

32013

，
故答案为：

3

-1，

3 -1

32013

．

点评：本题考查的是三角形的性质，解此类题目时要根据题意列出不等式，适当地对图形进行分解，然后再解题．