Question

两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置，点B、A、D在同一直线上．

操作：在图中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F，连结CE．

探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论．

说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA(点C、A、E在同一直线上)”，其他条件不变，完成你的证明．

 

Answer 1

解：操作如图①

             图①

结论：BF⊥CE，BF=CE，

证明：如图②，设CE交BF于点N，交BD于点M，

∵Rt△ABC≌Rt△EDA,

∴∠ABC=∠EDA=90°,AC=AE,∠1=∠2

∴BC//DE,∴∠BCE=∠DEC

图②

∵AC=AE, ∴∠3=∠4,

∴∠5=∠1+∠3,∠DEC=∠2+∠4,

∴∠5=∠DEC=∠DME=45°

∴∠BCE=∠5=45°

∴BC=BM

又∵BF平分∠ABC，∴MN=CM，BF⊥CE

过点D作DG⊥CE，垂足为G

∵∠DME=∠DEM=45°，

∴DM=DE，∴MG=ME

∵DF⊥BF，BF⊥CE，DG⊥CE，

∵∠FNG=∠DGN=∠F=90°,

∴四边形FNGD为矩形。

∴FD=NG=MN+MG=CM+ME=CE

又∵BF平分∠ABC，DF⊥BF，∠ABC=90°，

∵∠FBD=∠FDB=45°，∴BF=DF，∴BF=CE

其它合理解法也可得分。