Question

如图，已知AB=3，BC=7，CD=.且AB⊥BC，∠BCD=135°。点M是线段BC上的一个动点，连接AM、DM。

①点M在运动过程中，当AM+DM的值最小时，BM=        ；

②当 AM²+DM²的值最小时，BM=        。

 

Answer 1

【答案】

、6

【解析】

试题分析：（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，求出DF，根据相似求出BM即可；

（2）根据勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．

（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，

∵∠BCD=135°，

∴∠DCF=45°，

∵CD=，

则CF=CD×cos45°=5，

DF=CF=5，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

∴△BEM∽△FDM，

∴

∴，解得，

（2）设BM=x，

在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，

∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，

∴AM²+DM²=9+x²+25+（12-x）²=2x²-24x+178=2（x-6）²+106，

∵2＞0，

∴AM²+DM²有最小值，当x=6时，最小值是106，

考点：轴对称-最短路线问题，勾股定理，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定

点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.