Question

【题目】已知两动圆F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣ ）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足： =0．
（1）求曲线C的方程；
（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求△ABM面积S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|+|QF2|=4（4＞|F1F2|）．

由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，a=2，c= ．b=1，

所以曲线C的方程是： =1

（2）解：证明：由题意可知：M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

当AB的斜率不存在时，易知满足条件 =0的直线AB为：x=0，过定点N（0，﹣ ）．

当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

x1+x2=﹣ ①，x1x2= ②，

因为 =0，所以有x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，

把①②代入整理化简得（m﹣1）（5m+3）=0，m=﹣ 或m=1（舍），

综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点N（0，﹣ ）

（3）解：△ABM面积S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|=

因N在椭圆内部，所以k∈R，可设t= ≥2，

S= = ≤ = （k=0时取到最大值）．

所以△ABM面积S的最大值为

【解析】（1）设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|+|QF2|=4，运用椭圆的定义，即可得到a，c，b，进而得到Q的轨迹方程；（2）M（0，1），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根据直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；（3）△ABM面积S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|，代入韦达定理，化简整理，结合N在椭圆内，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值．