Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若AE=4，FC=3，则EF的长为

1. A.
   3
2. B.
   4
3. C.
   5
4. D.
   7

Answer 1

C
分析：根据等腰直角三角形性质得出AD=BD=CD，∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°，BD⊥AC，求出∠EDB=∠CDF，证△EDB≌△FDC和△ADE≌△BDF，求出BE=CF=3，BF=AE=4，根据勾股定理求出即可．
解答：
连接BD，
∵等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，
∴AD=BD=CD，∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°，BD⊥AC，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF，
在△EDB和△FDC中，
，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴CF=BE=3，
同理AE=BF=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF==5，
故选C．
点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．