题目内容
（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．
分析：（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以
=
，可解得OC=
，则C点坐标为（-
，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=
ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8-ND）：8，解得ND=
，所以OD=
，ON=
，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=
，则BN=10-
=
，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可．
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=
| 2 |
| 24 |
| 7 |
| 24 |
| 7 |
24
| ||
| 7 |
| 40 |
| 7 |
| 40 |
| 7 |
| 30 |
| 7 |
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=
=10，
∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，
∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴
=
，即
=
，解得OC=
，
∴C点坐标为（-
，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（-
，0）分别代入
，
解得
，
∴直线l的解析式为y=
x+6；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=
，
∴OD=
，ON=
ND=
，
∴N点坐标为（
，
）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即
：6=AN：10，解得AN=
，
∴BN=10-
=
，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即
：NE=
：
，解得NE=
，
∴OE=ON+NE=
+
=7
．
∴AB为⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=
| OA2+OB2 |
∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，
∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| 6 |
| OC |
| 8 |
| 6 |
| 9 |
| 2 |
∴C点坐标为（-
| 9 |
| 2 |
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（-
| 9 |
| 2 |
|
解得
|
∴直线l的解析式为y=
| 4 |
| 3 |
（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=
| 24 |
| 7 |
∴OD=
| 24 |
| 7 |
| 2 |
24
| ||
| 7 |
∴N点坐标为（
| 24 |
| 7 |
| 24 |
| 7 |
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即
| 24 |
| 7 |
| 40 |
| 7 |
∴BN=10-
| 40 |
| 7 |
| 30 |
| 7 |
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即
| 30 |
| 7 |
24
| ||
| 7 |
| 40 |
| 7 |
25
| ||
| 7 |
∴OE=ON+NE=
24
| ||
| 7 |
25
| ||
| 7 |
| 2 |
点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．
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