Question

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相交于点E，与射线CD相交于点F．
（1）如图，当点E在线段CA上时，求证：BE⊥CD；
（2）如果BE=CD，那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；
（3）如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．

Answer 1

分析：（1）根据角之间的等量关系及中点的特点即可得出答案；
（2）根据题意易证△BCE∽△ACB，根据相似三角形比例关系即可得出结论；
（3）分①点E在线段CA上时；②点E在线段CA延长线上讨论求解．

解答：解：（1）∵∠CBE=∠A，
∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠CBA=∠DCB，
∴∠DCB=∠BEC，
∵∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠BEC+∠ACD=90°，
∴BE⊥CD；

（2）线段AC与BC之间的数量关系是

BC

AC

=

1

2

（AC=2BC），
∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴

BC

AC

=

BE

AB

，
∵BE=CD，

CD

AB

=

1

2

，
∴

BC

AC

=

1

2

．

（3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，
∴∠BDF=45°．
①当点E在线段CA上时，∠A=

1

2

∠BDF=22.5°；（2分）
②当点E在线段CA延长线上时，∠BAC=

180°-∠CDA

2

=

135°

2

=67.5°．（2分）

点评：本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质及相似三角形的证明及性质，难度适中．