Question

13．直线y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$（n为正整数）与坐标轴围成的三角形面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S_n，再利用拆项法整理求解即可．

解答 解：令x=0，则y=$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，
令y=0，则-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=0，
解得x=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，
所以，S_n=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{n+1}×\frac{\sqrt{2}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$•
所以，S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2015}×\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S_n，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．