Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=：2，求⊙O的半径及DF的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD．
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90 °，∠CDE+∠ODE=90 °．
又∵DF⊥AB，
∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，∴∠CDE=∠EOD．      
又∵∠EOD=2∠B，∴∠CDE=2∠B．     
 （2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90 °．
BD：AB=  
      
∴∠B=30°．                       
∴∠AOD=2∠B=60°．又∵∠CDO=90°，∴∠C=30°．        
在Rt△CDO中，CD=10，∴OD=10tan30°=，
即⊙O的半径为．              
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°
∴DE=CDsin30°=5．                   
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=DF．
∴DF=2DE=10．