Question

求两个不同的自然数，其算术平均数A和几何平均数G（指两数积的算术平方根）都是两位数，且A，G中一个可由另一个变换十位数字与个位数字得到．

Answer 1

分析：首先设两个不同的自然数x，y，根据题意可表示出A与G的值，即可求得以x，y为两根的二次方程，则可确定判别式△的取值，再设两位数A=10m+n，则G=10n+m（m，n是数字），代入判别式△，由△是完全平方数，即可列得方程组，求解方程组，则可求得答案．

解答：解：设两个不同的自然数x，y，
则A=

x+y

2

，G=

xy

，
∴

x+y=2A xy= G 2

，
∴以x，y为两根的二次方程：t²-2At+G²=0，
∵x，y是自然数，
∴△=（2A）²-4G²=4（A²-G²）=4（A+G）（A-G），
又设两位数A=10m+n，则G=10n+m（m，n是数字），
∴△=4（11m+11n）（9m-9n）=36×11×（m+m）（m-n）是完全平方数，
又∵1＜m+n≤18，0＜m-n≤8，
∴

m+n=11 m-n=1

或

m+n=11 m-n=4

（不合）
解得m=6，n=5．
∴A=65G=56t²-130t+56²=0，
解得t₁=98，t₂=32．
答：两个不同自然数为98和32．

点评：此题考查了整数问题的综合应用，二次方程的判别式，完全平方数以及算术平均数和几何平均数等知识．此题综合性很强，注意分析，合理应用判别式的知识是解此题的关键．