题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒
个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？
【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=
x2﹣
x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【解析】
（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根据tan∠BCO=
=2得OB=4，据此得出点B坐标，再由OB=4OA可得点A坐标；
（2）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得a、b的值，从而得出答案；
（3）由题意知AN=2t、BM=
t，根据tan∠BME=tan∠BCO=2知
=
，求得OE=OB﹣BE=4﹣t，从而得出PE=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，再分点N在点E左侧和右侧两种情况，表示出NE的长，利用NE=PE列方程求解可得答案．
（1）∵C（0，﹣2），
∴OC=2，
由tan∠BCO==2得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，
得：
，
解得：
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=t，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥OC，
∴∠BME=∠BCO，
则tan∠BME=tan∠BCO，即
=2，
∴=，即
=，
则BE=t，
∴OE=OB﹣BE=4﹣t，
∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，
①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜
，
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，
∵△PNE是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，
整理，得：t2﹣11t+10=0，
解得：t=1或t=10＞（舍）；
②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，
又
且2t≤5，
∴＜t≤
，
此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，
由PE=NE得﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=3t﹣5，
整理，得：t2+t﹣10=0，
解得：t=
＜0，舍去；或t=
＞，舍去；
综上，当t=1时，△PNE是等腰三角形．
