Question

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1 ）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2 ）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP= ，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE，在△BPE和△CQE中， ∵， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴， ∵BP=a，CQ=a，BE=CE， ∴BE=CE=a， ∴BC=3a， ∴AB=AC=BCsin45°=3a， ∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a， 连接PQ， 在Rt△APQ中，PQ==a．