Question

（2013•西青区二模）将矩形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点O重合（O为原点），点C在x轴正半轴上．若将矩形纸片折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．
（Ⅰ）如图（1），根据“折痕三角形”的定义请你判断矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”的形状（不需要证明）；
（Ⅱ）如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（Ⅲ）如图（3），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，也请你说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答；
（Ⅱ）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标；
（Ⅲ）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
①当F在边CD上时，S_△BEF≤

1

2

S_矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；
②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标．

解答：解：（Ⅰ）任意一个“折痕△BEF”的形状等腰三角形．

（Ⅱ）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．
∴四边形ABFE为正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．

（Ⅲ）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．
S_△BEF≤

1

2

S_矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．
②当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．
∵S_△EKF=

1

2

KF•AH≤

1

2

HF•AH=

1

2

S_矩形AHFD，
S_△BKF=

1

2

KF•BH≤

1

2

HF•BH=

1

2

S_矩形BCFH，
∴S_△BEF≤

1

2

S_矩形ABCD=4．
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．
下面求面积最大时，点E的坐标．
①当F与点C重合时，如图④所示．
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=

CE2-CD2

=

42-22

=2

3

．
∴AE=4-2

3

．
∴E（4-2

3

，2）．
②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．
此时E（0，2）．
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2

3

，2）．

点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．