Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）若CD=1cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=1，再判断出△BDE是等腰直角三角形，然后求出BD，再根据BC=CD+BD求解即可；
（2）利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再根据AB=AE+BE整理即可得证．

解答：（1）解：∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=

2

DE=

2

，
∴BC=CD+BD=

2

+1；

（2）证明：在△ACD和△AED中，

AD=AD DE=CD

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE=CD，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．