Question

如图，已知AC=AE，FC=FE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接 CD，EB．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）在△ACF和△AEF中根据已知及公共边AF证得两三角形全等，可得∠ACB=∠AEF，再根据已知条件及全等的判定方法AAS即可证得△ABC≌△ADE；
（2）根据HL易证得Rt△ABF≌Rt△ADF，即可得∠AFB=∠AFD，根据等腰三角形的性质即可得AF⊥BD．

解答：证明：（1）在△ACF和△AEF中

AC=AE FC=FE AF=AF

∴△ACF≌△AEF（SSS）．
∴∠ACB=∠AEF；
在△ABC和△ADE中

AC=AE ∠ACB=∠AEF ∠ABC=∠ADE=90°

，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．

（2）由△ABC≌△ADE可得AB=AD，且AF为公共边，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB=AD，AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）
∴∠AFB=∠AFD，
∴AF⊥BD（等腰三角形底边上的三线合一）．

点评：本题考查了全等三角形全等的判定及性质，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．