Question

如图，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S在船的北偏东30°，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，（运算结果保留根号）
（1）求船在B处时与灯塔S的距离；
（2）若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．

Answer 1

分析：（1）过点B作BC⊥AS，垂足为C，构造两个直角三角形，即可求出CS=BC的值，再求出BS的值；
（2）根据（1）中计算，求出BE的长，再根据船的航速，利用时间=路程÷速度即可求出船从B处继续向正北方向航行与灯塔S的距离最近的时间．

解答：解：（1）过点B作BC⊥AS，垂足为C．
∵AB=60海里，∠A=30°，∠DBS=75°，
∴∠ABS=105°，
∴∠ABC=60°，
∠CBS=45°，
∴CS=BC=

1

2

AB=30，
BS=

BC2+SC2

=30

2

海里；

（2）过点S作ES⊥AB，垂足为E．
则船与灯塔S的最近距离为ES，
∵AC=AB•cos30°=60×

3

2

=30

3

，SC=30，
∴AS=30

3

+30，
ES=15（

3

+1），
∴AE=45+15

3

，BE=AE-AB=15

3

-15，
∴船的航行时间为

15 3 -15

60

=

3 -1

4

小时．

点评：此题考查了解直角三角形---方向角问题，构造出两个直角三角形，利用三角函数是解题的关键．