Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AD=6，BC=9，动点P从D点出发沿DA以每秒1各单位的速度向A定运动，动点Q从B点出发沿BC以每秒3各单位的速度向C点运动．两点同时出发，当Q点到达C点时，点P随之停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）求t的取值范围；
（2）求t为何止时，PQ与CD相等？

Answer 1

分析：（1）表示出DP、AP、BQ、CQ的长度，然后列出不等式组求解即可；
（2）分①四边形PQCD是等腰梯形时，过点P作PM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，可得四边形ABND是矩形，根据矩形的对边相等可得BN=AD，然后求出CN，再根据等腰梯形的性质可得MQ=CN，然后列出方程求解即可；②四边形PQCD是平行四边形时，表示出PD、CQ，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）设点P运动的时间为t秒，则DP=t，AP=6-t，BQ=3t，CQ=9-3t，
∴

t≥0 6-t≥0 9-3t≥0

，
解得0≤t≤3，
∴t的取值范围是0≤t≤3；

（2）∵AD∥BC，
∴PD∥CQ，
①四边形PQCD是等腰梯形时，过点P作PM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
则四边形ABND是矩形，
∴BN=AD，
∴CN=BC-BN=9-6=3，
由等腰梯形的性质，MQ=CN，
∴6-3t-t=3，
解得t=

3

4

；
②四边形PQCD是平行四边形时，PD=CQ，
∵PD=t，CQ=9-3t，
∴t=9-3t，
解得t=

9

4

，
综上所述，t=

9

4

或

3

4

时，PQ=CD．

点评：本题考查了直角梯形，等腰梯形的性质，准确识图理清图中各线段之间的关系是解题的关键，难点在于（2）要分等腰梯形和平行四边形两种情况讨论．