Question

矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，tan∠ECF=，即可求得答案．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△AEF∽△DCE，
∴，
∵矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，
∴DC=AB=2AD=4AE，
∴tan∠ECF==．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．