Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（0，-2），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，当△ABE的面积最大值时，△CDE的面积为（　　）

• A．

  12

  11

• B．

  11

  3

• C．

  8

  3

• D．

  16

  11

Answer 1

分析：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△CDE面积．

解答：解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
如图，连接AC．
∵A点的坐标为（-4，0），⊙C的圆心坐标为（0，-2），半径为2．
∴AO=4，OC=2，即OC为⊙C的半径，则AO与⊙C相切．
∵AO、AD是⊙C的两条切线，
∴AD=AO=4．
连接CD，设EF=x，
∴DE²=EF•OE，
∵CF=2，
∴DE=

x(4+x)

．
易证△CDE∽△AOE，则

CD

AO

=

CE

AE

，即

2

4

=

2+x

4+ x(4+x)

，
解得x=

4

3

或x=0（不合题意，舍去），
∴S_△CDE=

1

2

DE•CD=

1

2

×

4

3

×4=

8

3

．
故选C．

点评：本题是一个动点问题，考查了圆的综合题，解题时，涉及到了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．