题目内容

(2012•福田区二模)如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是
11
3
11
3
分析:当射线AD与⊙C相切时,△ABE面积的最大.设EF=x,由切割线定理表示出DE,可证明△CDE∽△AOE,根据相似三角形的性质可求得x,然后求得△ABE面积.
解答:解:当射线AD与⊙C相切时,△ABE面积的最大.
连接AC,
∵∠AOC=∠ADC=90°,AC=AC,OC=CD,
∴Rt△AOC≌Rt△ADC(HL),
∴AD=AO=2,
连接CD,设EF=x,
∴DE2=EF•OE,
∵CF=1,
∴DE=
x(x+2)

∴△CDE∽△AOE,
CD
AO
=
CE
AE

1
2
=
x+1
2+
x(x+2)

解得x=
2
3

S△ABE=
BE×AO
2
=
2×(
2
3
+1+2)
2
=
11
3

故答案为:
11
3
点评:本题是一个动点问题,考查了切线的性质和三角形面积的计算,解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时,△ABE面积的最大.
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