Question

如图，P是正方形对角线上一点，PE⊥BC，PF⊥DC，求证：
（1）AP=EF；
（2）AP⊥EF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）延长FP交AB于点G，通过SAS证明△AGP≌△FPE，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）延长AP交EF于H．根据全等三角形的性质可得∠GPG=∠FEP，再根据等量关系可得∠PHE=90°，从而证明结论．

解答：证明：（1）延长FP交AB于点G，则PG⊥AB，四边形BEPG是矩形．
∵点P是正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠PBG=∠PBE=45°，∠GAE=90°，BC=AB，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG=BG=PE，
∴四边形BEPG为正方形，
∴∠GPE=90°，
∴AG=FP．
在△AGP与△FPE中，

AG=FP ∠AGP=∠FPE GP=PE

，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF；
（2）延ADP交EF于H．
由（1）知△AGP≌△FPE，
∴∠APG=∠FEP，
∵∠APG+∠EPH=180°-∠GPE=90°，
∴∠FEP+∠EPH=90°，
∴∠PHE=90°，即PD⊥EF．

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，本题关键是证明△AGP≌△FPE．