Question

如图，直线y＝x＋m(m≠0)交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB＝5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C．点E从坐标原点O出发，以0．8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动．直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G．设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s．

(1)求直线AC的解析式；

(2)直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；

(3)直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵y＝x＋m交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B， 　　∴B(0，m)、A(－3，0)．(1分) 　　∵AB＝5， 　　∴m2＋32＝52，解得m＝±4． 　　∵m＞0， 　　∴m＝4． 　　∴B(0，4)． 　　∴OB＝4．(2分) 　　∵直线AC⊥AB交y轴于点C，易得△BOA∽△AOC， 　　∴＝． 　　∴CO＝＝＝． 　　∵点C在y轴负半轴上， 　　∴C(0，－)．(3分) 　　设直线AC解析式为y＝kx＋b， 　　∵A(－3，0)，C(0，－)， 　　∴{－3k＋b＝0，b＝－}，解得 　　∴y＝－x－．(5分) 　　 　　(3)分两种情况：第一种情况：当0≤t≤5时， 　　解法一：如图，作ED⊥FG于D，则ED＝d． 　　由题意，FG∥AC， 　　∴＝， 　　∵AF＝t，AB＝5， 　　∴BF＝5－t． 　　∵B(0，4)，C(0，－)， 　　∴BC＝4＋＝． 　　∴＝． 　　∴BG＝(5－t)． 　　∵OE＝0.8t，OB＝4， 　　∴BE＝4－0.8t． 　　∴EG＝(5－t)－(4－0.8t)＝－t． 　　∵FG⊥AB，ED⊥FG， 　　∴∠GDE＝∠GFB＝90°． 　　∴ED∥AB． 　　∴． 　　 　　∴d＝－t＋．(11分) 　　解法二：如图，作ED⊥FG于点D，则ED＝d，连结EF． 　　则OE＝0.8t，AF＝t． 　　∵OB＝4，AB＝5， 　　∴BE＝4－0.8t，BF＝5－t． 　　∴＝． 　　又∠EBF＝∠OBA， 　　∴△EBF∽△OBA． 　　∴∠BFE＝∠BAO． 　　∴EF∥AO． 　　∴＝． 　　∴EF＝＝． 　　∵∠AOB＝90°，EF∥AO， 　　∴∠FEB＝∠AOB＝90°． 　　∴∠BFE＋∠FBE＝90°， 　　∵∠BFE＋∠EFD＝90°， 　　∴∠FBE＝∠EFD． 　　又∠AOB＝∠EDF＝90°， 　　∴△OBA∽△DFE． 　　∴＝． 　　∴＝． 　　∴d＝－t＋．(11分) 　　第二种情况：当t＞5时，解法一：如图， 　　作ED⊥FG于D，则ED＝d， 　　则题意，FG∥AC， 　　∴． 　　∵AF＝t，AB＝5， 　　∴BF＝t－5． 　　∵B(0，4)，C(0，－)， 　　∴BC＝4＋＝． 　　∴＝． 　　∴BG＝(t－5)． 　　∵OE＝0.8t，OB＝4， 　　∴BE＝0.8t－4，EG＝(t－5)－(0.8t－4) 　　＝t－． 　　∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE＝∠GFB＝90°， 　　∴ED∥AB． 　　∴＝． 　　∴＝． 　　∴d＝t－．(14分) 　　解法二：如图，作ED⊥FG于点D，则ED＝d，连接EF． 　　则OE＝0.8t，AF＝t． 　　∵OB＝4，AB＝5， 　　∴BE＝0.8t－4，FB＝t－5． 　　∴＝． 　　又∠EBF＝∠OBA， 　　∴△EBF∽△OBA． 　　∴∠BFE＝∠BAO． 　　∴EF∥AO． 　　∴＝． 　　∴EF＝＝． 　　∵∠BFE＋∠EFD＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°， 　　又∠BFE＝∠BAO， 　　∴∠EFD＝∠ABO． 　　又∠EDF＝∠AOB＝90°， 　　∴△DFE∽△OBA． 　　∴＝． 　　∴＝． 　　∴d＝t－． 　　∴d＝(14分)