Question

【题目】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．

（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是______命题（填“真”或“假命题”）；

（2）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求；

（3）如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，．

①求证：是奇异三角形；

②当是直角三角形时，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）真；（2）；（3）①证明见解析；②或．

【解析】

（1）设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出a2+b2=c2①，由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，得出a2+c2=2b2②，由①②得出b=a，c=a，即可得出结论；
（3）①由勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，由已知得出2AD2=AB2，AC2+CE2=2AE2，即可得出△ACE是奇异三角形；
②由△ACE是奇异三角形，得出AC2+CE2=2AE2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得出答案．

（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：

设等边三角形的一边为，则，

∴符合奇异三角形”的定义．

（2）解：∵，则①，

∵是奇异三角形，且，

∴②，

由①②得：，，

∴．

（3）①证明：∵，

∴，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴是奇异三角形．

②由①可得是奇异三角形，

∴，

当是直角三角形时，

由（2）得：或，

当时，，

即，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴．

当时，，

即，

∵，

∴°，

∵，，

∴，

∴，

∴或．