题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，点A、B在x轴上，以AB为弦的⊙O与y轴相切于E点，E点的坐标为（0，2），AE的长为 $数学公式$ ．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若D点的坐标为（0，-8），抛物线y=ax²+bx+c过D、A、B三点，求这抛物线的解析式；
（3）证明上述抛物线的顶点在⊙C上．

解：（1）∵E（0，2），
∴|OE|=2，
又∵|AE|= $\text{[math]}$ ，
∴|OA|=1，
∵A点在x轴上，
∴A（1，0），
∵E是⊙C的切点，由切割线定理知|OE|2=|OA|•|OB|，
∴|OB|=4，
∵B点在x轴上，
∴B（4，0），即所求A，B两点的坐标分别为（1，0），（4，0）；

（2）设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）（a≠0），
把D（0，-8）代入上式，解得a=-2．
故所求抛物线的解析式为y=-2x²+10x-8；

（3）∵y=-2x²+10x-8=-2（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的顶点坐标为P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
作AB的中垂线MN，与⊙C在第一象限相交于点M，与x轴相交于点N，则MN必过圆心C，且|ON|= $\text{[math]}$ ，连接CE，
∵E是切点，
∴CE是⊙C的半径，且CE⊥y轴，
∴四边形ONCE是矩形，
∴|EC|=|ON|= $\text{[math]}$ ，|NC|=|OE|=2，
又∵CM是⊙C的半径，
∴|CM|=|EC|= $\text{[math]}$ ，
∴|MN|= $\text{[math]}$ ，
∴M点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴点M与点P的坐标相同，即这两点重合．
∴抛物线的顶点在⊙C上．
分析：（1）先根据E点坐标求出OE的长，再由|AE|= $\text{[math]}$ 可得出OA的长，故可得出A点坐标，因为E是⊙C的切点，所以由切割线定理知|OE|²=|OA|•|OB|，故可得出OB的长，故可得出B点坐标；
（2）设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）（a≠0），把点D的坐标代入求出a的值，故可得出所求抛物线的解析式；
（3）由（2）中抛物线的解析式得出其顶点坐标，作AB的中垂线MN，与⊙C在第一象限相交于点M，与x轴相交于点N，则MN必过圆心C，且|ON|= $\text{[math]}$ ，连接CE，由E是切点可知CE是⊙C的半径，且CE⊥y轴，故四边形ONCE是矩形，故可得出|EC|=|ON|= $\text{[math]}$ ，|NC|=|OE|=2，再由CM是⊙C的半径可知|CM|=|EC|= $\text{[math]}$ ，故可得出MN的长度，由此可得出M点的坐标，因为点M与点P的坐标相同，所以这两点重合，故可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、切割线定理、用待定系数法求二次函数的解析式及矩形的判定与性质等相关知识，难度适中．