Question

阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是，由题意得方程组：，

消去y化简得：，

∵△＝49－48>0，∴x₁=                ，x₂=                ．

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

 

Answer 1

【答案】

（1）2和（2）不存在（3）（m + n）²－8 mn≥0时，满足要求的矩形B存在

【解析】解：（1）2和；

（2），消去y化简得：2 x²－3x＋2＝０，Δ＝9-16<０，所以不存在矩形B．

　（3）（m + n）² －8 mn≥0，

设所求矩形的两边分别是，由题意得方程组：

，消去y化简得：2 x²－（m + n）x + mn = 0，

Δ＝（m + n）² －8 mn≥0．

即（m + n）²－8 mn≥0时，满足要求的矩形B存在

（1）先用Δ判断方程是否有根，再用十字相乘法解一元二次方程即可

       （2）方法跟（1）一样，由于Δ<０，故一元二次方程无解即可

       （3）若矩形B存在，方程组有解，则化解的一元二次方程要有解，故Δ≥0，即可得到关于m和n所要满足的条件

	A