Question

（2012•高新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（3，0），顶点G坐标为（0，

3

）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）求过点A的反比例函数解析式；
（2）点P的坐标为

（-

3

2

，

3

2

）

；在矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP的运动过程中，点F运动路径的长为

2 3

3

π

．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定得出△OGA∽△OMN，再利用相似三角形的性质得出AG的长度，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）利用锐角三角函数关系求出∠GOA=30°，得到∠POD=30°，即可得出PD．DO的长，进而得出P点坐标，利用弧长公式求出点F运动路径的长即可．

解答：解：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
故△OGA∽△OMN，
∴

AG

MN

=

OG

OM

，

AG

3

=

3

3

，
解得：AG=1，
∴A（1，

3

），
设反比例函数y=

k

x

，把A（1，

3

）代入，得k=

3

，
即y=

3

x

；

（2）如图所示：连接OF，作PD⊥DO于点D，
∵A（1，

3

），
∴tan∠GOA=

AG

GO

=

1

3

=

3

3

，
∴∠GOA=30°，
∴∠POD=30°，
∵顶点G坐为（0，

3

），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴PO=

3

，
∴PD=

1

2

×

3

=

3

2

，DO=

3

2

，
故点P（-

3

2

，

3

2

），
∵tan∠FOE=

3

3

，
∴∠FOE=30°，
∴∠FON=60°，
∵OF=

32+( 3 )2

=2

3

，
∴l=

60π×2 3

180

=

2 3

3

π．
故答案为：P（-

3

2

，

3

2

），

2 3

3

π．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用图形的旋转和矩形的性质，利用图形的旋转变化的性质的得出对应点的坐标是解题关键．