Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)已知图象上的三个点的坐标，用待定系数法可求出函数解析式; (2)根据分点的意义，算出两个分点的坐标，用待定系数法分别求出解析式; (3)路径最短问题，可以用轴对称变换，把线段转换到同一直线上. 作点A关于抛物线的对称轴的对称点A′，点M关于x轴的对称点M′，连接A′M′，则线段A′M′的长就是最小的线段和. 解：根据题意，c=3，所以 解得 所以，抛物线的解析式为 (2)根据题意可得OA的三等分点分别为(0，1)，(0，2). 设直线CD的解析式为y=kx+m. 当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为y=x+1; 当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为y=x+2. (3)如图，由题意可得M(0，). 点M关于x轴的对称点为M′(0，)， 点A关于抛物线对称轴x=3轴的对称点为A′(6，3)， 连接A′M′.根据轴对称性质及两点间线段最短可知，A′M′的长度就是所求点P运动的最短总路径的长. 所以A′M′与x轴的交点为所求E点，A′M′与直线x=3的交点为所求F点. 把A′、M′的坐标代入解析式得，直线A′M′的解析式为. 所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为(3，). 由勾股定理求得A′M′=. 所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为.